几何画板解析2017年浙江宁波中考倒一（纯几何）
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（2017•宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=0.5∠D，∠C=0.5∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
【图文解析】
（1）如下图示：
由四边形的内角和为360°得：3x+3y=360°，化简得x+y=120°，即∠B+∠C=120°.
（2）如下图示，
如上图示，不难证得：△BOE≌△BDE，得∠1＝∠2，又在⊙O中，∠C＝0.5∠2，所以∠C＝0.5∠1.
下证∠DBC＝0.5∠DFC.如下图示，
有∠3＝1800－2m，∠DFC＝1800－2m，从而∠DFC＝∠3.又在⊙O中，根据圆周角定理，得∠DBC＝0.5∠3，所以∠DBC＝0.5∠DFC.
综上，∠C＝0.5∠1和∠DBC＝0.5∠DFC，得到四边形DBCF是半对角四边形.
（3）如下图示，由半对角四边形DBCF的定义知：∠ABC+∠ACB＝1200，
所以∠A＝60°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°……，如下图示.
如下图示，进一步地得△BDG∽△BCA，所以S△BDG：S△ABC＝BD2：BC2.
同时，（如下图示）
得到BD：BC＝1：根号3. 所以S△BDG：S△ABC＝1：3.即S△ABC＝3S△BDG.
下面求△BGH与△BDG的面积比：
如下图示，可得GH：DG=1：3.
进一步地，得到S△BGH：S△BDG＝1：3，即S△BDG＝3S△BGH.
综上，S△ABC＝3S△BDG＝9S△BGH，所以S△BGH：S△ABC＝1：9.
【反思】本题综合性强，用的知识内容多，尤其是面积之间的关系不但可以通过相似三角形的性质，还要通过（共边）共线上两三角形的面积之间的关系；同时充分利用题目本身（定义）的所得到的结论的运用及圆的相关定理进行转化和推理.
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